La regla de cramer a partir del producto generalizado en ℜn

Cramers rule from the generalized product in ℜn

En el espacio vectorial euclídeo ℜ³  se definen el producto vectorial y el producto triple, a partir de la interpretación geométrica de estos productos, definimos el producto vectorial en los espacios vectoriales ℜ² , ℜ⁴ y ℜⁿ . Con el producto vectorial generalizado se presenta una deducción elemental de la regla de Cramer.

En ℜ³ dados dos vectores B y C, el producto vectorial se define como una operación binaria donde el vector que se obtiene B×C es ortogonal a B y es ortogonal a C, y su norma, ||B×C|| es la medida (área) del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores B y C. Si tenemos otro vector A, al producto punto o escalar A · (B × C) se le denomina el producto “triple” y es igual al determinante de la matriz cuyos vectores filas o columnas son los vectores A, B y C. El valor absoluto de este determinante corresponde a la medida (volumen) del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores A, B y C.

Estas ideas las podemos copiar en ℜ², ℜ⁴ y en general en ℜⁿ. Veamos:

En ℜ²

Dados dos vectores A y B la medida (área) del paralelogramo determinado por A, B está dada por ||A|| ||B|| senα, donde α el ángulo entre estos vectores; si construimos un vector X ortogonal a A y tal que la norma de X sea igual a la norma de A, la medida (área) del paralelogramo nos queda ||X|| ||B|| cosα, que es igual al producto punto entre X y B, para encontrar el vector X planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones

A·X = 0

||X||² = ||A||²

Si A = (a,b) el sistema tiene dos soluciones: X = (b,–a) o X = (–b,a). Imitando la definición nemotécnica del producto vectorial en ℜ³:

                                  │i    j   k  │

(a₁ a₂ a₃) x (b₁ b₂ b₃)=│a₁ a₂ a₃│

                                  │b₁ b₂ b₃│