Cómputo de los caracteres irreducibles de las representaciones de Sn

Computation of the irreducible characters of the representations of Sn

El siguiente programa calcula la tabla de caracteres para las representaciones irreducibles de los grupos de simetría S_n,  haciendo uso de la fórmula de Roichman en vez de la fórmula recursiva de Murnanghan-Nakayama.

INTRODUCCIÓN

Históricamente (Curtis, 1999) los caracteres precedieron a las representaciones de grupos. Inicialmente, Frobenius en 1896 a partir de algunas ideas y preguntas formuladas por Dedekind, desarrolló la teoría de caracteres de grupos tomando como punto de partida el determinante del grupo y su factorización. Pronto él pudo generalizar para grupos no conmutativos, algunas de las observaciones hechas por Dedekind sobre grupos conmutativos, en particular la factorización de este determinante del grupo haciendo uso de los caracteres.

En la actualidad es usual estudiar primero las representaciones y después sus caracteres. Este cambio en nada ha afectado la utilidad de los caracteres como herramienta en el estudio de la teoría de grupos, sus representaciones y aplicaciones. Una de estas aplicaciones es el algoritmo posiblemente más usado en el siglo pasado, el cual es, la transformada discreta de Fourier de una función definida sobre un grupo cíclico. En la actualidad ya contamos con generalizaciones y aplicaciones de este algoritmo a otras familias de grupos (Maslen and Rockmore, 1997, 2001).

Los programas computacionales que realizan el cómputo de los caracteres de los grupos simétricos usan por lo general la fórmula recursiva de Murnangham-Nakayama (Sagan 2001, Goldschmidt, 1993). Recientemente, Roichman (Roichman) ha dado una fórmula para el cómputo de estos caracteres y es esta fórmula la que estamos implementando.

DEFINICIONES

Sea G un grupo finito y V un espacio vectorial complejo de dimensión n y GL(V) el grupo de transformaciones lineales invertibles sobre V. Sabemos que GL(V) ≈ GL(n,C) el grupo de matrices invertibles de orden n x n con entradas en los complejos. Una representación G de grado n es un homomorfismo de grupos

ρ : G → GL(V )

y por lo tanto se tienen las siguientes propiedades:

a. ρ (1) = Id_vdonde 1 es la identidad de G y Id_v es la función identidad de V.

​b. ρ (ab) = ρ (a) ρ (b) para todo a,b ∈ G

c. ρ (g^-1) = ρ (g)^-1.

Una representación de G se dice irreducible si no contiene subespacios propios invariantes, es decir, si W es un subespacio de V tal que ρ (g )W ⊆ W , ∀g ∈ G , entonces W = 0 o W = V .