Una longitud en secuencias de nucleótidos y el número nula

A length in nucleotide sequences and the null number of nucleotides.

Se define sobre secuencias de nucleótidos una longitud similar a la longitud de permutaciones para grupos de simetría. Esta longitud presenta algunas propiedades y relaciones similares a las propiedades analizadas en permutaciones y además permite establecer propiedades compatibles con la representación tridimensional de cadenas de nucleótidos como se definió en [1, 2].

INTRODUCCIÓN

Para las cadenas de nucleótidos se tienen varias representaciones espaciales. En particular Lareo y Acevedo [2] definen una representación por medio de números de Gödel, sin embargo, esta representación no es uno a uno. Por lo tanto, es posible que a una terna (x,y,z) ∈ R³ le correspondan varias cadenas que se identifican con esta terna según esta representación.

Una de las preguntas matemáticas que se intenta responder es si es posible determinar el número de cadenas que se identifican con una terna, en términos de algún parámetro que posean estas cadenas de nucleótidos. Estas y otras preguntas sobre el número Nula ya han sido planteadas en [1].

Observando las cadenas correspondientes a una terna (x,y,z) ∈ R³, se busca hallar relaciones para establecer los parámetros a estudiar bajo los cuales con esta representación tridimensional dos o más cadenas tienen la misma representación, y de esta forma poder contarlas en forma eficiente. Considerando las cadenas como permutaciones generalizadas, se define una longitud sobre ellas y se observa que aquellas que tienen la misma representación tridimensional poseen longitudes similares. Es decir, el parámetro longitud parece tener alguna relación con el hecho de tener la misma representación tridimensional. A continuación se dan las definiciones básicas y posteriormente se presentan algunas pruebas de las conjeturas planteados en este trabajo.

DEFINICIONES BÁSICAS

Definición 1. Una permutación de n elementos es una función biyectiva del conjunto {1,...,n} sobre sí mismo. El conjunto de todas estas funciones biyectivas se denota como S_n y con la operación de composición usual de funciones forma un grupo, cuyo orden es n!.

Usualmente una permutación w ∈ S_n se escribe como w = w₁...w_n en donde w_i = w(i).

Definición 2. La longitud de unapermutación w ∈ S_n es el número de elementos del conjunto:

I(w) = {(i,j):i_i>w_j}.

El conjunto I(w) se llama el conjunto de los descendentes de w, y la longitud de w se denota por l(w).

Si w = w₁...w_n ∈ S_n, denotamos por m_i = #{j: j > i, w_i > w_j} para todo 1≤ i ≤ n.