Primeros antecedentes sobre lo infinitamente pequeño

First background on the infinitely small

El concepto matemático de lo infinitamente pequeño fue fruto de un arduo trabajo de la humanidad a través de muchos siglos, los primeros logros al respecto se deben fundamentalmente a los desarrollos obtenidos por los atomistas cuyos principales exponentes fueron Demócrito, Zenón, Arquímedes en la antigua Grecia y Galileo, Cavalieri en el Renacimiento. En este artículo se hace una presentación de los métodos empleados por Arquímedes y Cavalieri para abordar este problema desde su propia perspectiva.

INTRODUCCIÓN

Las teorías matemáticas sobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, es decir, aquellas que permiten manejar el infinito como cantidad, han tenido una historia muy larga que todavía no culmina, y que en su forma más acabada se conocen hoy día como “matemática no estándar” por un lado y por el otro, como “geometría diferencial sintética”; ellas iniciaron su recorrido en épocas tan tempranas como el siglo V antes de nuestra era, con una idea popularizada por Demócrito y Arquímedes, según la cual las líneas están constituidas por segmentos de longitud infinitamente pequeña. Pongamos por caso, una circunferencia es un polígono regular cuyos lados son infinitesimales o infinitésimos. Esta primera idea sufrió varias transformaciones en virtud de algunas dificultades para manejarla. El propio Arquímedes, gracias a su pericia en el manejo de las leyes mecánicas asociadas a las palancas, la convirtió en lo que más tarde Cavalieri llamaría indivisibles. Los indivisibles en el método de Arquímedes poseen una característica muy importante que no atrae mucho a los matemáticos, pero sí a quienes gustan de la física: Tienen peso.

EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES

La idea más antigua sobre lo infinitamente pequeño está asociada a una manera muy particular de entender las circunferencias y los círculos. No es extraño que fuera precisamente la figura más esclarecida del atomismo griego, Demócrito de Abdera (460-360 a. de C.), quien sugirió por primera vez, que las circunferencias y los círculos son, en realidad, polígonos regulares con infinitos lados infinitamente pequeños.

La concepción atomista en las diferentes etapas del desarrollo científico se ha manifestado también en matemáticas a través del concepto que se tenga sobre lo infinitamente pequeño. La primera presentación formal coherente y sólida que se conoce de una teoría atomista se debe a Demócrito. Ésta descansa sobre el principio del movimiento de la materia. Según dicha concepción, los átomos se mueven eternamente; el átomo es la materia misma en movimiento, Demócrito entendía los átomos como el ser, y el vacío como el no ser; pero el vacío era para él tan real como los átomos [Dynnik, 1968].