Generación De Polinomios De Schubert Con Cocoa II: Grafos RC.

Schubert Polynomial Generation With Cocoa II: Grafos RC.

_​​El polinomio de Schubert asociado a una permutación w es codificado por medio de la información contenida en ciertos grafos rc. Presentamos un programa para el cómputo de los polinomios de Schubert por medio de movimientos definidos sobre estos grafos.

INTRODUCCIÓN

Los polinomios de Schubert son los representantes las clases de cohomología de las variedades bandera y además, todo polinomio de Schur es un polinomio de Schubert. Por esto son herramientas útiles en diversos campos del álgebra, geometría, combinatoria y topología.

Los polinomios de Schubert fueron definidos en 1982 por Lascoux y Schülzenberger, mediante operadores de diferencias divididas. Posteriormente se han obtenido otros métodos para hallar estos polinomios y principalmente métodos combinatorios, que hacen explícitas ciertas propiedades de estos polinomios. Uno de estos métodos combinatorios son los grafos rc definidos inicialmente por Fomin y Kirillov. Por medio de estos grafos rc y movimientos en ellos, Billey y Bergeron encontraron un procedimiento para generar los polinomios de Schubert. Es de notar que por lo menos existe otra media docena de distintos procedimientos combinatorios y algebraicos para generar estos polinomios.

La idea central en el caso de los grafos rc es la siguiente. Dada una permutación w, su polinomio de Schubert asociado es

G_w(x)=G_w(x₁,...,x_n)=x^L(w) +otros monomios

donde L(w)=(l ,...,l_n) es el código de Lehmer de w y x^L(w) = x_l^l...x_n^ln su monomio asociado, el cual está dado por un grafo rc “inicial”, y los otros monomios se obtienen de este grafo por medio de movimientos “permitidos”.

Inicialmente recordamos algunas definiciones y propiedades básicas presentando posteriormente los grafos rc y el programa en CoCoA que calcula el polinomio y los grafos rc asociados.

Sea R = Z [x₁,..., x_n] el anillo de polinomios en n variables con coeficientes en Z. Para 1 ≤ i < n , definimos los operadores de diferencias dividido  ∂_i sobre R por medio de

Algunas propiedades de este operador son:

• ∂_i² = 0.
• ∂_i ( f ) = 0 sif es simétrico en x_i, x_i+1.
• ∂_i∂_j =∂_j∂_i para |i-j|>1.
• ∂_i∂_i+1∂_i =∂_i+1∂_i∂_i+1, si 1≤i

Sea w ∈ S_n una permutación. Denotamos por l(w) su longitud, es decir, si escribimos w =[w_l,...,w_n] (notación de una línea) entonces

l(w)=∑ⁿ_i=1 # {j>i:w_j<w_i}